L'
image réciproque d'une
Partie B d'un
Ensemble Y par une
Application f : X → Y est le sous-ensemble de
X constitué des éléments dont l'image par
f appartient à
B :
f -1 (B) = {x ∈ X / f (x) ∈ B } .
Exemple : Considérons l'application f : {1, 2, 3} → {a, b, c, d } , définie par
1 ↦ a, 2 ↦ c, 3 ↦ d
L'image réciproque de {a,b} par f est f -1 ( {a,b } ) = {1} .
Notons qu'avec cette définition, f -1 devient une fonction dont l'ensemble de définition est l'ensemble de toutes les parties de Y et dont l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des parties de X.
Mise en garde : Lorsque f est une bijection, il ne faut pas confondre cette opération sur les parties avec l'application réciproque f-1. Fort heureusement, l'image réciproque par f s'identifie avec l'Image directe par f -1.
Propriétés élémentaires
- Pour toutes parties B1 et B2 de Y,
f -1(B 1 ∪ B 2) = f -1 (B 1 ) ∪ f -1 (B 2 ).
f -1(B 1 ∩ B 2) = f -1 (B 1 ) ∩ f -1 (B 2 ).
- pour toute partie B de Y, f (f -1 (B)) ⊂ B.
∀ B ⊂ Y, f (f -1 (B)) = B ⇔ f surjective
- pour toute partie A de X, A ⊂ f -1 (f (A))
∀ A ⊂ X, A = f -1 (f (A)) ⇔ f injective
- pour toutes parties A et B de Y,
f -1(A\ B) = f -1 (A)\ f -1 (B)
- Pour toute famille (B i) i ∈ I de parties de Y,
| f -1 | ( |
ᑎ
i ∈ I | B i | ) | = |
ᑎ
i ∈ I | f -1 (B i ) |
| f -1 | ( |
ᑌ
i ∈ I | B i | ) | = |
ᑌ
i ∈ I | f -1 (B i ) |
Nous disons en général qu' « avec l'image réciproque tout est possible ».
Voir aussi